教案可以帮助教师更好地培养学生的自主学习能力,教师通过写教案能够更好地与学生进行互动和交流,促进学生的积极参与和学习动力,报喜范文网小编今天就为您带来了分数除法三教案通用5篇,相信一定会对你有所帮助。
分数除法三教案篇1
教学目标:
1、知识目标:体验分数除以整数的计算方法,在讨论交流的基础上总结出计算法则,并能正确的计算。
2、能力目标:培养学生动手动脑能力,以及判断、推理能力。
3、情感目标:培养学生愿意交流合作,喜欢数学的情操,感受数学来源于生活,体验操作的欢乐。
教学重点:
能求一个数的倒数。
教学难点:
分数除以整数计算法则的推导过程。
教学准备:
长方形纸片。
教学过程:
一、创设情景,教学分数除法的意义
1、师:同学们我们学过整数除以整数以及小数除法,今天我们将来学习数除法。下面我们一起来研究一下几个小朋友有关分饼的问题,请你们列出算式并计算,看谁算的又快又好!
(1)每人吃1/2块饼,4个人共吃多少块饼?
(2)把2块饼平均分给4个人,每人吃了多少块饼?
(3)有2块饼,分给每人1/2块,可分给几个人?
2、师:我们一起来看一下这三个算式,观察一下这三个算式的已知数和得数,说一说它们都是已知什么,求什么的运算?这就是分数除法的意义。
师:讨论:分数除法的意义和整数除法的意义一样吗?
总结:分数除法的意义与整数除法的意义相同,都是已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
二、探究分数除法的计算方法
(1) 引导参与,探究新知
师:我们已经知道了分数除法的意义,那么如何来计算呢?请同学们看黑板。
出示问题1。
请大家拿出一张操作纸,涂色表示出这张纸的4/7。
师:把一张纸的4/7平均分成2份,每份是这张纸的几分之几?怎样列式?4/7÷2
请同学们通过涂一涂,算一算的方式来研究4/7÷2怎样计算。小组合作,汇报交流。
方法一:把4/7平均分成2份就是把4份平均分成2份,每份是2个1/7,也就是2/7。展示折纸和计算过程。4/7÷2=4÷2/7=2/7
方法二:把一张纸的4/7平均分成2份,求每份是多少就是求4/7的1/2是多少,可以用乘法来做。展示折纸和计算过程。4/7÷2=4/7×1/2=2/7
师:对这种做法大家有什么疑问吗?
生:这儿是除法怎么变成了乘法?
师:老师也有这个疑问,你能讲讲吗?
师:谁能结合图来讲一讲呢?
师:很好!把除法转化成乘法,问题迎刃而解,你真棒!……
(2)质疑问难,理解新知
①师小结:有的是用分子除以整数,分母不变的.方法算出结果2/7,有的是转化成分数乘法来做……那么在这些方法中,你最喜欢哪种?
②接下来就请你用自己喜欢的方法来解决这个问题:把一张纸的4/7平均分成3份,每份是这张纸的几分之几?先列式再用自己喜欢的方法计算。
③通过计算你们有什么发现?
生1、用第一种方法就不能做了。因为: 上一题的时候,分子4是2的倍数,4÷2能得到整数商。而 4÷3时,分子4不是3的整倍数,得不到整数商。所以不能用分子除以整数这种方法了。
生2:把除法转化成乘法来做……4/7÷3=4/7×1/3=4/21
能再讲讲这样做的道理吗?
师:“4/7÷3”表示把4/7平均分成3份,取其中的一份。
请同学们拿出第二张操作纸,你能把图中的4/7平均分成3份,并表示出其中的一份吗?
展示学生的分法
师(指着涂色部分):你所表示的这一部分是4/7的多少?
通过直观图理解4/7的1/3是4/21
(3)比较归纳,发现规律。
①师:在计算这两道题时同学们想到了不同的算法,计算左边这道题你比较喜欢那种方法?右边呢?
②在两道题的计算中同学们都想到了把除法转化成乘法来做,请观察一下,左边这道算式,在转化的前后什么变了,什么没变?怎么变的?
③师:同学们观察真仔细!那像这样的分数除以整数的题目一般可以怎么计算呢?请同学们在小组内互相说一说!
小组活动,说算法。
④师:通过研讨我们知道了分数除以整数,可以用分子除以整数,但有时不能得到整数商,所以通常转化为乘这个整数的倒数的方法来计算。
出示:分数除以整数,等于分数乘这个整数的倒数。
还有需要注意的地方吗?
生:有,除数不能为0。
师:谁能把分数除以整数的计算法则用自己的话来说一说?
完善算法:分数除以整数(0除外),等于分数乘这个整数的倒数。
⑥那象这样的分数除以整数的题目在计算时要注意些什么?
生:要约分!结果最简。除号要变成乘号!
三、巩固练习
学生独立完成
四、课堂小结
1、这节课我们学习了哪些知识?分数除法的意义是什么?分数除以整数的计算法则是什么?(学生总结)
板书设计:
分数除以整数
分数除法三教案篇2
教学目标
1.使学生掌握列方程解答“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的应用题的解答方法
2.培养学生分析问题、解答问题能力,以及认真审题的良好习惯.
教学重点
找准单位“1”,找出等量关系.
教学难点
能正确的分析数量关系并列方程解答应用题.
教学过程
一、复习、引新
(一)确定单位“1”
1.铅笔的支数是钢笔的 倍. 2.杨树的棵数是柳树的 .
3.白兔只数的 是黑兔. 4.红花朵数的 相当于黄花.
(二)小营村全村有耕地75公顷,其中棉田占 .小营村的棉田有多少公顷?
1.找出题目中的已知条件和未知条件.
2.分析题意并列式解答.
二、讲授新课
(一)将复习题改成例1
例1.小营村有棉田45公顷,占全村耕地面积的 ,全村的耕地面积是多少公顷?
1.找出已知条件和问题
2.抓住哪句话来分析?
3.引导学生用线段图来表示题目中的数量关系.
4.比较复习题与例1的相同点与不同点.
5.教师提问:
(1)棉田面积占全村耕地面积的 ,谁是单位“1”?
(2)如果要求全村耕地面积的 是多少,应该怎样列式?(全村耕地面积× ).
(3)全村耕地面积的 就是谁的面积?(就是棉田的面积)
解:设全村耕地面积是 公顷.
答:全村耕地面积是75公顷.
6.教师提问:应怎样进行检验?你还能用别的方法来解答吗?
(1)把 代入原方程,左边 ,右边是45,左边=右边,所以 是原方程的解.)
(公顷)
(根据棉田面积和 是已知的,全村耕地面积是未知的,根据分数除法意义,已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数应该用除法计算.)
(二)练习
果园里有桃树560棵,占果树总数的 .果园里一共有果树多少棵?
1.找出已知条件和问题
2.画图并分析数量关系
3.列式解答
解1:设一共有果树 棵.
答:一共有果树640棵.
解1: (棵)
(三)教学例2
例2.一条裤子75元,是一件上衣价格的 .一件上衣多少钱?
1.教师提问
(1)题中的已知条件和问题有什么?
(2)有几个量相比较,应把哪个数量作为单位“1”?
2.引导学生说出线段图应怎样画?上衣价格的
3.分析:上衣价格的 就是谁的价钱?(是裤子的'价钱)谁能找出数量间相等的关系?(上衣的单价× =裤子的单价)
4.让学生独立用列方程的方法解答,并加强个别辅导.
解:设一件上衣 元.
答:一件上衣 元.
5.怎样直接用算术方法求出上衣的单价?
6.比较一下算术解法和方程解法的相同之处与不同之处.
相同点:都要根据数量间相等的关系式来列式.
不同点:算术解法是按照分数除法的意义直接列出除法算式;而方程解法则要先设未知数,再按照等量关系式列出方程.
三、巩固练习
(一)一个修路队修一条路,第一天修了全长 ,正好是160米,这条路全长是多少米?
提问:谁是单位“1”?数量间相等的关系式是什么?怎样列式?
(二)幼儿园买来 千克水果糖,是买来的牛奶糖的 ,买来牛奶糖多少千克?
(三)新风小学去年植树320棵,相当于今年植树棵数的 .今年、去年共植树多少棵?
1.课件演示:分数除法应用题
2.列式解答
四、课堂小结
这节课我们学习了列方程解答分数除法应用题的方法.这类题有什么特点?解题时分几步?
五、课后作业
(一)一桶水,用去它的 ,正好是15千克.这桶水重多少千克?
(二)王新买了一本书和一枝钢笔.书的价格是4元,正好是钢笔价格的 .钢笔价格是多少元?
(三)一种小汽车的最快速度是每小时行140千米,相当于一种超音速飞机速度的 .这种超音速飞机每小时飞行多少千米?
分数除法三教案篇3
教学内容:
人教版五年级数学下册第四单元p49l。
教学目标:
1.使学生理解两个整数相除的商可以用分数来表示,会用分数表示两个数相除的商。
2.使学生正确理解和掌握分数与除法的关系
3.培养学生的应用意识,渗透辩证思想,激发学生学习兴趣。
教学重难点:
1.理解和掌握分数与除法的关系。
2.用除法的意义理解分数的.意义。
教学具准备:
课本主题挂图,圆形纸片(4—5张)。
教学过程:
一、创设问题,复习导入
1.填空。
6表示( )。
7(2)的分数单位是( ),它有()个这样的分数单位。 10(1)
2.问题引入
师:5除以9,商是多少?(板书:5÷9 =)如果商不用小数表示,还有其他方法吗?有了分数,就可以解决这个问题。这节课我们就来学习怎样用分数表示除法的商,认识“分数与除法的关系”。 板书课题:分数与除法
二、探索研究,学习新知
(一)教学例1
1.出示主题挂图,读题后,指导学生根据整数除法的意义列出算式。
2.讨论:1 除以3结果是多少?你是怎样想的?
3.汇报讨论结果:
生:我解答这道题的列式是1÷3,可以把一个蛋糕看作单位“1”,把它平均分成3份,表示这样的一份的数,可以用分数1111来表示,1个蛋糕的就是个,所以,1÷3 =。 3333
教师根据学生回答板书:
1÷3 =
(二)教学例3
1.出示主题挂图,读题后,引导学生列出算式:3÷4。
2.指导学生动手操作:拿出三张同样大小的圆形纸片,把它看作3块饼,用剪刀把它们分成同样大小的4份。
引导学生边分边思考:我们把谁看作单位“1”?把它平均分成4份,每份是多少?你想怎样分? 教师巡视,参与指导。
3.汇报演示分得的过程及结果,教师根据学生汇报总结不同的分法。
方法一:可以一个一个地分,先把每块月饼平均分成4份,每块可分得4个
个11(个)答:每人分得个。 331,3块月饼共分得124113,平均分给4个人,每人可分得3个,合在一起是块。
3块月饼,4方法二:可以把3块月饼叠在一起,再平均分成4份,拿出其中的1份,拼在一起就得到
所以每人分得3块。(如图)
板书:3÷4 =
4.理解。 师: 33(块)答:每人分得块。 443块月饼表示什么意思?
指导学生说清理解:表示把3个月饼平均分成4份,表示这样1份的数;还可以表示把1个月饼平均分成4份,表示这样3份的数。 师:去掉单位名称,你能说一说3表示的意思吗?
可以放手让学生说一说,归结明白:可以表示把单位“1”平均分成4份,表示这样3份的数;还可以表示把3平均分成4份,表示这样1份的数。
分数除法三教案篇4
教学目标:
1、通过本课的复习使学生能很好的掌握本单元所学的知识,能正确 的计算分数的除法。
2、全盘对本单元的知识有个全面的了解,解决在学习时所遇到的问题。
3、能很好的计算分数乘除混合运算的题目。
教学重点:分数除法的计算的方法。
难点:分数乘除的混合运算的运算的计算的正确率
教学过程:
一、复习回顾
小组讨论
1、怎么样来计算分数除法
请学生进行讨论,讨论好以后 再请学生进行回 答。
2、教师强调:在计算分数除法的时候我们除以一个数等于乘以这个数的倒数。
请生说说你是怎么来理解这句话的。
二、进行练习
1、做课本66的1
请学生直接的在课本上进行口算,口算的时候让学生要看清题目,注意区分乘和除。
学生做好了以后再请学生进行口答。
对于做错的题目,让请学生自己来分析下错误的原因是什么?
2、做第2题
前面4题可以让学生独立的做,做好了以后再请学生说说计算的方法是怎么样的?
并请学生上黑板进行板演。
进行集体订正。
3、对比练习
1) 城东小学六年级有学生450人,占全校人数的2/9,全校有学生多少人?
2)城东小学有学生450人,六年级占其中的2/9,六年级有学生多少人?
4、做66页第4题
请学生独立的做,做好了以后请学生分析一下说说你是怎么想的?
做好以后请学生进行板演
5、根据方程或算式,将应用题补充完整。
1)、120×3/8
( ),苹果树的棵数是梨树的3/8,( )?
2)、3/8x=120
( ),苹果树的棵数是梨树的3/8,( )?
3)、120+120×3/8
( ),苹果树的棵数是梨树的3/8,( )?
请学生独立的做,做好了以后请学生说说是怎么想的?
三、布置作业
做66页第5~7题
1、在计算练习中,可增加以下练习,帮助学生进一步体会分数计算中的一些规律。
在( )里填上“>”“
4/7×1/3( )4/7 4/7×4/3( )4/7
4/7÷1/3( )4/7 4/7÷4/3( )4/7
4/7÷1( )4/7 4/7×1( )4/7
先让学生独立思考,再说说判断的结果和理由。
2、在解决实际问题时,要紧紧围绕数量关系的分析学生掌握分数应用题的解答方法。
3、加强对比有利于学生辨析什么情况下列算式解答,什么情况下列方程式方便。
课后反思:
通过今天的复习,部分学生已初步感受到单位"1"的量未知,列方程解答,实际也可以用分数除法解答。于是我及时引导,再次让学生体会,从而理解乘除之间互逆关系。
在今天学习第4题的练习中,结合具体题目,补充了工作效率、工作时间、工作总量三个数量之间的关系,并结合学生体会到的`分数乘除法之间的关系再次体会到列方程解与分数除法解的优劣。
在处理第7题的练习中,学生对变化着的“1”不注意,部分学生将国土面积乘5/2等于草地面积。归其原因还是没有掌握分数应用题数量关系。
分数除法三教案篇5
分数除法同分数乘法一样,都是小学阶段重要的数学内容,从过去的教学实践来看,这部分知识历来是学生数学学习的难点。原《大纲》的要求是:理解分数除法的意义;掌握分数除法计算法则;会计算分数除法;会口算简单的分数除法;会进行分数四则混合运算(不超过三步);会解答分数应用题(最多不超过两部)。《数学课程标准》关于分数除法的具体标准是:会进行分数除法运算和混合运算(以两步为主,不超过三步)。会解决有关分数的简单实际问题。《数学课程标准》与原《大纲》相比,分数除法计算方面的要求没有大的变化,只是把《大纲》中的混合运算的步数”不超过三步“改为”以两步为主,不超过三步“。变化较大的同分数乘法一样,仍然是淡化分数除法的意义,强调会进行分数除法计算和解决简单实际问题。本单元教材与传统教材相比,从编写思想、内容编排、教学方式等方面都有了较大的变化,主要有以下几个方面的特点:
一、结合具体情境理解分数除法的意义强化计算方法的掌握和应用。
从传统分数除法教材来看,主要有三个重点。第一,分数除法的意义;第二,分数除法法则。即:一个数除以分数,等于这个数乘以分数的倒数。第三,用方程或算术两种方法解决分数除法问题。从知识的建构上看,学生学习整数除法时对除法就是”平均分“已经非常熟悉,而现实生活中,又很难找到具体的事例来说明”一个数除以分数“的实际意义。所以,传统教材中选用”已知两个因数的积和其中一个因数,求另一个因数的运算“来说明分数除法的意义。这种乘除互逆关系是重要的数学结论,应该在学生乘除计算的知识背景下让学生认识。但是,现在用这个关系来定义分数除法意义的表述,对学生来说实在难于理解,再加上枯燥的看算式说意义的练习,使学生一开始接触分数除法就一头雾水。另外,这个分数除法的意义与”一个数除以分数,等于这个数乘以分数的倒数“这一分数除法的核心知识点又没有一点联系。所以,造成既增加学生的学习难度,又不利于学生掌握知识的情况。本着”降低难度,突出重点“的原则,本套教材首先不安排分数除法意义的内容。而是利用学生已有的整数除法意义的知识,通过现实的,学生能理解的具体事例,学习除法计算。明白为什么用除法?为什么这样算?如,为了解决”一个数除以分数,等于这个数乘分数的倒数“这一分数除法的核心知识点。教材首先安排了三组整数除法和分数乘法相对应口算练习,通过观察计算结果和算式的特点,让学生发现”甲数÷乙数=甲数×乙数的倒数“的规律。然后,选择学生生活中的现实问题,妈妈买来1/2张饼,把它平均分成3份,每份是整张大饼的几分之几?解决这个问题,学生自己的知识和经验是把半张饼平均分成3份,列式是÷3。甲数÷乙数=甲数×乙数的倒数以及3的倒数是。在解决问题的过程中,借助直观图,把学生已有的知识和经验整合在一起,生成新的数学知识,分析除以一个数(0除外)等于分数乘这个数的倒数。这样设计分数除法法则的学习,首先删去了学生难于理解的计算方法推导的过程,另外,由整数除法和分数乘法的规律迁移到分数除法,是一个计算方法验证过程,也是计算方法形成和巩固的过程。在这里,删去的是次要的、过高的要求,强化的是学生扎扎实实进行分数除法计算最基本、最有价值的内容。同时,培养了学生自主建构知识的能力。
二、渗透数学建模思想,强化用方程解答分数除法问题。
从过去的经验看,分数除法应用问题的特点是”已知部分和所对应的分率,求整体“。实事求是地讲,这样的应用问题都是已发生的事物,是经过人为”加工“、”编造“的应用问题。这样的问题解决虽然在现实生活中应用较少,但在传统教材和教学中,一直是教材内容的重点和教学评价选题的焦点。众所周知,在很长时期内,分数除法问题要求用算术方法和方程两种方法解答,而用算术方法解答无论如何也找不到学生能够理解的、能够说明并理解数量关系的问题情境。所以,人们就用”已知部分和所对应的分率,求整体,用除法“的解题套路来解决问题。这样的学习,不利于学生理解问题中的数量关系,没有思维的条理性训练,有的只是死记硬背和机械的模仿训练。本教材有关分数除法问题的解决只采用列方程解答。这样设计的思考有以下几点:第一,有利于学生应用已有知识解决问题。即:把单位”1“看作χ,根据”求一个数的几分之几是多少,用乘法“找到题中的等量关系。第二,渗透数学建模的思想。方程是现实运算的一个有效的数学模型。结合分数除法问题的解决,通过一些典型事例,让学生经历分析问题(找等量关系)--列出方程表示--解方程等过程。这是《数学课程标准》提倡的数学建模思想的具体体现。
三、借助线段图分析数量关系,发挥其工具性。
线段图作为小学阶段数形结合,分析数量关系的工具,历来成为小学数学中的重要内容。传统教材和教学中,人们在关注用线段直观描述数量关系的同时,也把用线段图表示数量关系作为一般要求。即,把画线段表示题中的数量关系作为学习要求,增加了学习的难度。本套教材,只发挥线段图的工具性。即:借助线段图分析数量关系,不把画线段图表示数量关系作为学习要求。通过线段图来分析问题中的数学信息和数量关系,从而找出问题中隐含的等量关系。让学生在自主解决问题中,体会画图分析问题、解决问题的优越性和工具性。
本单元共安排5课时。主要内容包括:分数除以整数;一个数除以分数;简单的应用问题;混合运算。
本单元的教育目标是:
1、会进行简单的分数除法以及分数四则混合运算,能用方程解决有关分数除法的简单实际问题。
2、能借助线段图分析数量关系,在用方程解简单分数除法应用问题的过程中,能进行有条理的思考,并对结论的合理性作出有说服力的说明。
3、能够表达解决简单分数除法实际问题的过程,并尝试解释所得的结果。
4、体验画线段图分析问题的直观性和用方程解决问题时思维的条理性,认识到许多分数除法问题可以用方程的方法来解决。
●分数除法,安排4课时。
第1课时,分数除以整数。教材首先设计了三组有关系的口算题。如:20÷5,20×。通过计算20÷5=4,20×=4,发现它们的结果相同,进而得出:甲数÷乙数=甲数×乙数的倒数。接着,设计了”把张大饼平均分成3份,每份是这张大饼的几分之几?“的问题,探索分数除以整数的计算方法。教材以学生交流的形式呈现了学生计算和验证的过程。一是利用图示和已有的分数知识,推导出÷3==,二是直接利用发现的规律得出:÷3=×=。得到:分数除以一个数等于分数乘这个数的倒数。然后,在”试一试“,设计了分数除以整数的三道题,让学生应用上面的方法尝试计算。教学时,要给学生充分的口算和讨论规律的时间,然后,启发学生利用以前学过的除法的意义,倒数的知识,分数乘法的知识解决问题,说明结果的正确性。把分数除以整数计算方法的学习过程,变成知识扩展、方法验证的过程。
第2课时,一个数除以分数。教材贯彻在解决问题中学习计算的设计思路,选择了把消毒液分装在每瓶能装升的小瓶中的典型事例,设计了两个问题。(1)把2升消毒液分装在每瓶能装升的小瓶中,需要几个瓶子?学习整数除以分数的除法;(2)把升消毒液分装在每瓶能装升的小瓶中,需要几个瓶子?学习分数除以分数的计算方法。两个问题都呈现了算术和用方程解的两种方法。这节课的内容,计算方法是上节课的进一步拓展,根据题意列算式和方程是重点。教学中,首先要帮助学生理解题意,明白把2升消毒液倒入每瓶能装升的小瓶中,需要几个瓶子,就是求2升中有几个升。再鼓励学生用自己的方法试着解答。χ=2和χ=,除根据等式的基本性质解方程外,还可以利用倒数的知识,即两边直接乘的倒数来解决。如果学生只用方程两边同时除以的方法解答,教师就提出兔博士的问题”χ=2还可以怎样解?“启发学生用倒数的知识列方程χ×=2×解答。”试一试“中安排了三道除数是分数的式题,要给学生充分的试算和交流的时间,重点说一说自己是怎样想的。教师还可以引导学生讨论一下分数除以整数、分数除以分数有什么共同点,进一步巩固分数除法的计算方法。
第3课时,简单的已知一个数的几分之几是多少,求这个数的简单问题。教材选择了同学们开联欢会布置会场的事情,呈现了布置会场的情境图和”用的红气球占总数的“、”红气球有28个“等文字信息,以及”一共用了多少个气球?“的问题。通过兔博士的话,提出”把气球的总数看作单位‘1’,画出线段图分析一下的要求“,并呈现了线段图。教学时,要在学生了解数学信息和知道了要解决的问题后,师生共同画线段图来分析数量关系,找到等量关系式,再鼓励学生自己试着解答,并检验计算的结果。交流时,重点让学生说说是怎样想的、怎样解答的,用自己的方法解释计算结果的正确性。”试一试“中,安排了一个数的几分之几是两数和,求这个数的问题,鼓励学生画线段图并解答。
第4课时,稍复杂的”已知一个数的几分之几是多少,求这个数“的问题。教材首先选择了玩具厂计划生产碰碰车的事例,用图文结合的方式呈现了已经完成计划的,还要生产190辆等信息和”这批碰碰车有多少辆?“的问题。通过兔博士的话,提示画线段图来分析数量关系并呈现了完整的线段图。这是一道需要两步计算的分数除法的实际问题,可找到两组等量关系,列出两个方程解答。(1)计划生产的辆数-已经生产的辆数=还要生产的辆数,方程为:χ-χ=190。(2)计划生产的辆数×还剩下的几分之几(1-)=还要生产的辆数,方程为:χ(1-)=190。教学时,要充分利用线段图指导、帮助学生分析问题中的数学信息和数量关系,找到题中给出的等量关系,再鼓励学生用列方程的方法解答。
分数混合运算的顺序与整数一样,本节课的混合运算主要是根据分数除法的特点,解决运算过程中的方法问题。教材设计了三道分数混合运算式题,(1)题是除加混合运算,运算中要先算除法,并把除法变成乘除数的倒数。(2)题是乘除混合运算。运算时,把除法转化为乘除数的倒数后,可以有不同的约分方法。第一,直接在三个分数上约分;第二,把三个分数相乘写成分子乘分子,分母乘分母的式子,再约分。(3)是带小括号的除减混合运算。教学中,由于两步混合运算的顺序学生已经非常熟悉,所以,让学生说一说运算顺序,自己计算。在交流学生计算方法和结果的同时,掌握分数两步混合运算方法。
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